Ученый НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Иван Ремизов предложил новый способ решения широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка, которые почти два века считались не имеющими общей аналитической формулы. Об этом сообщает пресс-служба вуза.
Речь идет об уравнениях вида ay′′+by′+cy=g, где коэффициенты — не числа, а функции, то есть меняются в зависимости от условий. В школьной математике многие уравнения решаются по готовой схеме, например, квадратное уравнение можно «подставить» в известную формулу и получить ответ. С дифференциальными уравнениями второго порядка такой универсальный подход долгое время не работал. Еще в 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что выразить решение через коэффициенты привычными действиями (сложением, умножением, элементарными функциями и интегралами) в общем случае невозможно. После этого в науке закрепилось мнение, что общей формулы не существует.
Иван Ремизов не пытался опровергнуть вывод Лиувилля, а расширил набор инструментов. К стандартным операциям он добавил еще одну — переход к пределу (то есть работу с бесконечной последовательностью приближений). Благодаря этому удалось записать универсальную формулу, в которую можно подставить коэффициенты a,b,c,g и получить решение y.
Этот подход основан на теории аппроксимаций Чернова, когда сложную задачу разбивают на множество простых шагов и строят приближения, которые при увеличении числа шагов сходятся к точному ответу. В новой работе также показано, что использование преобразования Лапласа помогает собрать эти приближения в итоговый объект, то есть искомое решение.
По словам автора, эту идею можно представить как сборку целой картины из множества небольших кадров, то есть, вместо того чтобы пытаться сразу увидеть результат целиком, предлагается восстанавливать его поэтапно, а затем объединять части в единое решение. Он также пояснил, что этот метод важен не только для расчетов в физике и экономике, но и для определения специальных функций. Кроме того, эта работа сближает классические задачи с методами современной физики, так как решение оказалось близким по духу к формулам, применяемым в квантовой механике.
Ранее сообщалось, что нижегородский спутник «Лобачевский» запустили в космос.
Самые интересные и срочные новости читайте в «В городе N»
